Теплообмен в струйных течениях

1.  Рассмотрим плоскую турбулентную струю, истекающую из сопла шириной  b_о и размахом  L_разм со скоростью  v_о и температурой t_о в пространство, имеющее температуру t_a< t_о. На расстоянии от сопла примерно 6b_о формируется основной участок струи, состоящий из ядра постоянного массового расхода  G_я = ρv_ob_oL_разм и симметрично примыкающих к ядру зон течения эжектированных масс. Толщина ядра растет вниз по течению в соответствии со степенной аппроксимацией автора зависимости из [2]

δ_я/b_о = 0,328(x/b_о)^0,362,                                       (3)

где δ_я – половина толщины ядра, x/b_o – гидравлическое расстояние от среза сопла,  х/b_о = 6…60.

Ядро постоянного массового расхода можно рассматривать как поток в канале с проницаемыми стенками, обменивающийся теплотой с окружающей средой, омывающей канал организованными движениями эжектированных масс. При этом тепловой поток, отводимый через границу ядра, имеет плотность

 q = α(t_я – t_a),                                                            (4)

где t_я – средняя по сечению температура ядра,
α – конвективный коэффициент теплоотдачи от границы ядра, сформированный всей совокупностью турбулентных движений в окрестности ядра.

Приближение (4) позволяет записать балансовое соотношение

 W_яdt_я = -2α(t_я – t_a)dF_я                                               (5)

в котором  W_я = С_рG_я – водяной эквивалент ядра, F_я – площадь поверхности ядра плоской струи с одной стороны.

Уравнение (5) преобразуется к виду

dθ/θ = -2dε,                                                           (6)

где θ = (t_я – t_a)/(t_o – t_a),    ε = αF_я/W_я

Полагая  коэффициент теплоотдачи α постоянным на длине интегрирования, найдем  интеграл (6) по х/b_о от 0 до L/b_o

lnΘ = - 2Е                                                         (7)

поскольку  θ(0) = 1. Здесь Θ и Е – соответственно, значения функций θ(L/b_o) и ε(L/b_o) в конце участка L/b_o. Выражение (7) связывает среднюю на длине L теплоотдачу α к ядру с температурой ядра в конце участка.  Используя (2) и (3), а также принимая    

tgα_0,5v = 0,1,  σ = 0,65, получим расчетное выражение для температуры ядра:

Δt_я/Δt_о = (2,3/√x/b_o)exp[ - 45(Y_я(δ_я/b_o)/(x/b_o))²] ,                 (8)

Y_я = y/δ_я = 0…1,   Δt_я = t_я - t_а,   Δt_о = t_o-t_a

Расчет средней температуры ядра с помощью (8) и подстановка ее в (7) в виде

β = 1/Θ(L) позволяет определить Е и далее α. Выражение (7) в критериальном виде будет

St = lgβ/2(L/b_o).                                                             (9)

где St = Nu/(RePr) = α/(ρC_pv_o) – критерий Стэнтона, Nu = αb_o/λ,  Re = v_ob_o/ν,  Pr = ν/a.

Апроксимация  (9)   дает выражение

St = 0,065 (L/b_o) ^-0,444  .                                                 (10)

Таким образом, в привычных обозначениях, средняя по длине струи теплоотдача (число  Нуссельта Nu) прямо пропорциональна интенсивности струи (числу Рейнольдса Re) и   убывает с увеличением длины струи.

2. Покажем, как можно использовать (10) в расчетах несимметричной температурной   структуры (рис.1). Полагая, что температурная неоднородность не влияет на гидродинамическую картину в окрестности ядра постоянного массового  расхода, запишем балансовое соотношение

W_яdt_я = - (t_я – t₁)αdF_я - (t_я – t₂)αdF_я,                                      (11)

или

dθ =  (θ₂ – 2θ)dε,                                                               (12)

где  θ= (t_я – t₁)/(t_о – t₁),  θ₂ = (t₂ – t₁)/(t_о – t₁),  ε = αF_я/W_я

Интеграл (12) имеет вид

Θ = 0,5 [θ₂ + (2 – θ₂)exp(-2E)],                                   (13)

где  Е = αLL_разм/W_я .

Температура ядра в сечении х = L равна

 t_я(L) = (t_о – t₁)Θ + t₁                                        (14)

Пример 1.
Заданы размеры, расходы  и температуры:
b_o = 0,1м , L_разм = 2м,  v_o = 15м/с,  t_o = 50^oC, t₁ = - 30^oC,  t₂ = 20^oC,  ρ_o = 1,093кг/м³,  G_я = 3,28кг/с,  W_я = 3296Вт/К,  F_я = 2x м², θ₂ = 0,625

3.  Усложним структуру удвоением струй (рис.2). Предполагается, что межструйное пространство изолировано от областей с температурами t₁ и t₂. Подача воздуха в струи организована из областей 1 и 2, соответственно начальные температуры струй t₁ и  t₂.  Обе струи достаточно удалены друг от друга, чтобы они не сливались на заданной длине и  их можно было рассматривать как квазисвободные. Между струй формируется пространство циркуляции масс воздуха, эжектируемых внутренними сторонами струй. Сложный характер направленных движений в циркуляционном пространстве в сочетании с турбулентностью допускает считать там температуру воздуха t_ц близкой к постоянной. Записывая относительно каждой струи балансовые уравнения вида (11) и преобразовывая их, получим систему

dθ₁/(1 - 2θ₁) = dε₁,                   dθ₂/(1 - 2θ₂) = dε₂,        (15)

где  θ₁ = (t_ц – t_я1)/(t_ц – t₁),     
  θ₂ = (t_я2 – t_ц)/(t₂ – t_ц),     ε₁ = α₁F_я1/W_я1,          

 ε₂ = α₂F_я2/W_я2. Поскольку при х = 0      θ₁ = θ₂ = 1    решения уравнений (15) имеют вид

Θ₁ = 0,5[1 + exp(- 2E₁)],       Θ₂ = 0,5[1 + exp(- 2E₂)]                              (16)

Приравнивая теплопотери

                                          W_я1(t_я1 – t₁) = W_я2(t_я2 – t₂)

и выражая температуры  t_я1  и t_я2  через (16), найдем температуру циркуляционного пространства

t_ц = (t₁ + Аt₂)/(1 + А)                                                          (17)

А = (1 – θ₂)W_я2 / (1 – θ₁)W_я1

При   W_я1 = W_я2,   ε₁ = ε₂,   θ₁ = θ₂  имеем   A = 1, а   t_ц = 0,5(t₁ + t₂).

Пример 2.
Исходные данные, как в примере 1,  кроме  t_o1 = t₁ = - 30^oC,  t_o2 = t₂ = 20^oC,  t_ц = - 5^oC

4.    Выводы
Привнесение методов конвективного теплообмена и теории теплообменных аппаратов в теорию струй с использованием классических результатов по распределению скоростей и температур в свободных затопленных турбулентных струях позволяет рассчитать теплообмен в разнообразных неклассических случаях.  Применимость метода ограничена очевидными рамками, однако при наличии теоретических решений или экспериментальных данных по струйным течениям, отличающимся от свободных затопленных струй, возможно дальнейшее расширение области применения. Можно надеяться в дальнейшем на успешное использование данного метода в расчетах воздушно-тепловых завес.

Использованные источники
1.М.И.Гримитлин. Распределение воздуха в помещениях. Издание 3-е дополненное и исправленное. Издательство «АВОК Северо-Запад».Санкт-Петербург. 2004
2. И.Е.Идельчик. Справочник по гидравлическим сопротивлениям. Госэнергоиздат. М.-Л. 1960